TEORÍA MCUA Y EJERCICIOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR.
MCUA: Movimiento Circular Uniforme Acelerado
No en todos los movimientos con trayectorias circulares el móvil que lo realiza se desplaza con rapidez uniforme. Más bien, la mayoría son con rapidez variable.
Y, entre aquellos con rapidez variable, el más simple de estudiar es aquel en que la rapidez varía de manera uniforme, en donde en cada unidad de tiempo la variación de rapidez experimentada por el móvil es constante, ya sea que su magnitud aumente o que disminuya.
Si el móvil en una trayectoria circular tiene inicialmente una rapidez angular ω0 y luego de un intervalo de tiempo t = Δt = tf – t0, tiene una rapidez angular ωf, el móvil habrá experimentado una aceleración angular que viene dada por:
α = (ωf – ω0 )/t
Ahora bien, en el tiempo, t, que está acelerando angularmente un móvil, no solo cambia su rapidez angular sino que también recorre cierto ángulo, θ, y viene dado por:
θ = θ0 + ω0 ·t + ½ α·t2
Al igual que en el movimiento lineal, también hay una ecuación que relaciona ángulo recorrido con velocidad angular, y esta es:
ω2f – ω20 = 2·α·θ
Para relacionar el movimiento lineal del móvil con trayectoria circular están las ecuaciones del Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado y las relaciones siguientes:
v = ω·R ac = ω2 ·R = v2 /R at = α·R
Donde at es la aceleración lineal con dirección tangencial.
Ejercicios:
1. Calcula la velocidad angular, la velocidad lineal y la aceleración centrípeta de la Luna. La luna realiza una revolución completa cada 28 días y la distancia promedio desde la Tierra a la Luna es de 3,84·108 m.
[Sol. 2,60·10-6 rad/s; 997 m/s y 2,60·103 m/s2]
2. Una rueda partiendo del reposo acelera de tal manera que su velocidad angular se incrementa uniformemente a 200 rpm en 6s. Después de que ha estado rotando algún tiempo a esa velocidad se aplican los frenos hasta que se para en 5 minutos. El número total de revoluciones de la rueda es de 3100. a) Dibuja la velocidad angular en función del tiempo. b) Calcula el tiempo total de rotación y el ángulo total rotado por la rueda.
3. Considera un disco, de radio 0,1 m, que puede rotar libremente alrededor de un eje horizontal y una cuerda está envolviéndolo. De la cuerda cuelga un cuerpo que cae bajo la acción de la gravedad siendo su movimiento uniformemente acelerado con una aceleración menor que la de la gravedad. Si en el tiempo t = 0 la velocidad del cuerpo es 0,04 m/s y 2 s después ha bajado 0,2 m determina el valor de la aceleración tangencial y la aceleración normal en cualquier instante de cualquier punto sobre el anillo del disco.
4. Una partícula describe una circunferencia de 5cm de radio con velocidad (rapidez) constante de 2 m/s. En un instante dado frena, con una aceleración constante de 0,5 m/s2 hasta pararse. Calcula: a) la aceleración de la partícula antes de empezar a frenar; b) la aceleración 2 s después de empezar a frenar; e) la aceleración angular mientras frena; d) tiempo que tarda en parar; e) número de vueltas que da desde que empieza a frenar que se para. [Sol. a) 0,8 m/s2; b) 0,53 m/s2; e) 0,1rad/s2; d) 4 s; e) 0,12]
5. Un volante parte del reposo con aceleración constante. Después de dar 100 vueltas la velocidad es de 300rpm, calcula: a)La aceleración angular; b) la aceleración tangencial de un punto situado a 20 cm del eje. [Sol. a) 0,785 rad/s2; b) 0,157 m/s2]
6. a) Calcula la velocidad angular de un disco que rota con movimiento uniforme describiendo 13,2 rad cada 6 s . b) Calcula el período y la frecuencia de rotación. ¿Cuánto tardará el disco: c) en rotar un angulo de 720º y d) realizar 12 revoluciones?. [Sol. a) 2,2 rad/s; b) 2,9 s, 0,35 Hz; e) 6,2 s; d) 34,3 s]
7. Un satélite que se mueve con rapidez constante en órbita circular a 400 km de la superficie de la Tierra posee una aceleración de 8,7 m/s2. Calcular a) su rapidez lineal y angular; b) el tiempo que tarda en dar una vuelta completa (Rt = 6370 km)
8. Un disco que inicialmente se mueve con una rapidez angular de 30 rpm frena hasta detenerse en 10 segundos. Calcular el número de vueltas que ha dado desde que empieza a frenar hasta que se para.
9. Un disco de 15 cm de radio gira con un movimiento circular alrededor de un eje que pasa por su centro. Si el disco tarda 5 segundos en dar una vuelta completa, calcula a) su rapidez angular, lineal de un punto situado a 9 cm del centro; b) el número de vueltas que ha dado el disco en 2 minutos.
10. A las 12 de la mañana las agujas de un reloj coinciden exactamente una sobre otra. ¿A qué hora volverán a hacerlo?
11. El plato de un tocadiscos gira inicialmente a razón de 33 rpm y tarda 20 s en detenerse. Determine: a) la aceleración angular, b) el número de revoluciones que efectúa el plato antes de detenerse, c) si el radio del plato es de 14 cm, ¿cuáles son las magnitudes de las componentes radial y tangencial de la aceleración lineal de un punto de la orilla del plato en t = 0 s? (-0,173 rad/s2; 34,6 rad; -2,42 cm/s2; 168 rad/s2)
12. Una rueda inicialmente en reposo empieza a girar con una aceleración angular constante hasta una velocidad angular de 12 rad/s en 3 s. Encuentre: a) la magnitud de la aceleración angular de la rueda, b) el ángulo, en radianes, que recorre cuando gira en ese tiempo. (4 rad/s2, 18 rad)
13. La mesa de un tocadiscos gira a razón de 33 1/3 rpm y tarda 60 s en detenerse cuando se apaga. Calcule: a) la magnitud de su aceleración angular, b) el número de revoluciones que realiza antes de detenerse.
14. ¿Cuál es la velocidad angular, en radianes por segundo, de: a) la Tierra en su órbita alrededor del Sol?, b) de la Luna en su órbita alrededor de la Tierra? (1,99x10-7 rad/s, 2,66x10-6 rad/s)
15. La posición angular de un punto sobre una rueda se describe por medio de q = 5 + 10t + 2t2 rad. Determine la posición, velocidad y aceleración angulares a los 0 y a los 3 segundos.
16. Un motor eléctrico que hace girar una rueda a 100 rpm se apaga. Suponiendo aceleración angular constante negativa de 2 s-2 de magnitud, a) ¿cuánto tarda la rueda en detenerse?, b) ¿cuántos radianes gira durante el tiempo encontrado anteriormente? (5,24 s; 27,4 rad)
17. Un auto acelera uniformemente desde el reposo y alcanza la velocidad de 22 m/s en 9 s. Si el diámetro de la llanta es 58 cm, encuentre: a) el número de revoluciones que la llanta realiza durante este movimiento, si se supone que no hay deslizamiento, b) ¿cuál es la velocidad rotacional final de una llanta en revoluciones por segundo?
18. Una rueda rotatoria requiere 3 s para girar 37 rev. Su velocidad angular al final del intervalo de 3 s es 98 rad/s. ¿Cuál es la aceleración angular constante? (13,7 rad/s)
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